Question

已知：如图所示，在△ABC中，点D为AC上一点，CD：AD=1：2，∠BCA=45°，∠BDA=60°，AE⊥BD，点E为垂足，连接CE．
（1）写出图中相等的线段；
（2）写出图中各对相似三角形；
（3）求的值．

Answer

（1）由∠BDA=60°，AE⊥BD，即可得，又由CD：AD=1：2，即可得DE=CD，即可求得∠DBC=∠BCE=15°，则可得BE=CE，又由∠EAD=∠ECA=30°，求得AECE，则可得AE=BE=CE；
（2）由∠ECD=∠DEC=∠EAC=30°，根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△CEA∽△CDE，由∠ABE=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAB，即可得△ADB∽△ABC；
（3）由△CEA∽△CDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解析】
（1）CD=DE，AE=BE=CE；（3分）

（2）△CEA∽△CDE，△ADB∽△ABC；（2分）

（3）在△CEA和△CDE中，
∵AE⊥BD，∠BDA=60°，
∴∠DAE=30°，
∴，（1分）
∵，
∴CD=ED，（1分）
∴∠DCE=∠DEC=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠DEC=30°，（1分）
∴△CEA∽△CDE；（1分）
∴==．（1分）