Question

如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，
（1）写出图中与△BEF相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（4）若AE=1，试求△GMN的面积．

Answer

（1）根据△ABC与△EFG都是正三角形，所以它们的内角都是60°，相等，再结合平角等于180°，可以找出另外的相关的两个角的和等于120°，然后即可确定出图中所有相似的三角形；
（2）只要证明另外和等于120°的两个角对应相等，即可利用两角对应相等，两三角形相似；
（3）因为点E的位置以及BE的长度都不确定，所以分（i）点E在线段AB上且点MN都在线段AC上；（ii）点E在线段AB上，点G在△ABC内；（iii）当点E在线段BA的延长线上，三种情况进行讨论；
（4）AE=1，而点E的位置不确定，所以要分两种情况进行讨论求解，（i）在线段AB上，则△GMN是边长为1的正三角形；（ii）在射线BA上，则△GMN是有一个角是30°的直角，分别求出两直角边，面积可求．
【解析】
（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；（3分）

证明：（2）在△BEF与△AME中，
∵∠B=∠A=60°，
∴∠AEM+∠AME=120°，（1分）
∵∠GEF=60°，
∴∠AEM+∠BEF=120°，
∴∠BEF=∠AME，（1分）
∴△BEF∽△AME；（1分）

【解析】
（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，
∵△BEF∽△AME，
∴BE：AM=BF：AE，
即：x：AM=2：（3-x），
∴AM=，
同理可证△BEF∽△CFN；
∴BE：CF=BF：CN，
即：x：1=2：CN，
∴CN=，
∵AC=AM+MN+CN，
∴3=+y+，
∴y=（1≤x≤3）；
（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，
同上可得：AM=，CN=，
∵AC=AM+CN-MN，
∴3=+-y，
∴y=-（0＜x≤1）；
（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，
AM=，CN=，
∵AC=MN+CN-AM，
∴3=y+-，
∴y=（x＞3）；
综上所述：y=-（0＜x≤1），
或∴y=（x≥1）；

（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，
∴S△GMN=×1×=；（1分）
（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°的Rt△，
∵x=4，
∴y==，NG=FG-FN=4×-1×=，
∴S△GMN=××=．