Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
（1）此抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．

Answer

（1）先根据点B（0，2），CF•OB=8，可知CF=4，由矩形的性质可得出C、F点的坐标，再用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，x2+1），利用两点间的距离公式可得出PB的长，再根据P到x轴的距离为x2+1即可得出结论；
（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，再根据PN、QM垂直x轴可得出QM∥BO∥PN，由平行线分线段成比例定理及∠QMO=∠PNO=90°即可得出△QMO∽△PNO．
【解析】
（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF•OB=8，
∴CF=4，
由题意可知，点C（-2，2），点F（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
则，
∴抛物线的解析式为y=x2+1；

（2）设P点的坐标为（x，x2+1），
则PB==x2+1，
又点P到x轴的距离为x2+1，
∴以点P为圆心、PB为半径的圆与x轴相切；

（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x轴，
∴QM∥BO∥PN，
∴=，
∴=，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．