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如图,点O是四边形BCED外接圆的圆心,点O在BC上,点A在CB的延长线上,且∠ADB=∠DEB,EF⊥BC于点F,交⊙O于点M,EM=manfen5.com 满分网
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若弧BM上有一动点P,且DE=manfen5.com 满分网,sin∠CPM=manfen5.com 满分网,求tan∠DBE的值.

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(1)连接OD,证OD⊥AD即可;可根据圆周角定理、直角三角形及等腰三角形的性质进行证明. (2)已知了∠CPM的正弦值,也就得到∠CEF的正弦值,进而可通过解直角三角形求得CF的长,进而可在Rt△BEC中,利用射影定理求得BF的长,即可得到⊙O的直径;过E作⊙O的直径EN,连接DN,根据圆周角定理,即可将∠DBE转化到Rt△DNE中,先利用勾股定理求得DN的长,然后再求出∠DNE(即∠DBE)的正切值即可. (1)证明:连接OD; ∵BC是⊙O的直径, ∴∠BDC=90°,即∠DBO+∠DCB=90°; 又∵∠ADB=∠BED=∠DCB,且∠OBD=∠ODB, ∴∠ADB+∠ODB=∠DCB+∠DBO=90°, 即OD⊥AD,而OD是⊙O的半径, 故AD是⊙O切线. (2)【解析】 由圆周角定理知:∠CPM=∠CEM,即sin∠CEF=; 设CF=2x,则CE=3x,由勾股定理得:EF=x; 而EF=EM=,即x=1,CF=2,CE=3; 在Rt△BEC中,EF⊥BC,由射影定理得: BF=EF2÷CF=,则BC=CF+BF=; 过E作直径EN,连接DN,则EN=BC=; 在Rt△DNE中,DE=,EN=,由勾股定理得:DN=; ∴tan∠DNE=; ∴tan∠DBE=tan∠DNE=.
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考点分析:
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(2)把△AOB绕B点逆时针旋转90°,得△A2O2B,则A的对应点A2的坐标为______
(3)在图中画出△A1B1O1和△A2O2B,直接写出它们重叠的部分的面积为______平方单位.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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