Question

如图等腰Rt△ABC中AB=AC，D为斜边BC上的动点，若BD=nCD，BF⊥AD交AD于E、AC于F．
（1）如图1，若n=3时，则=______；
（2）如图2，若n=2时，求证：；
（3）当n=______

Answer

（1）过C作CG⊥AC交AD的延长线与G点，由题意可证明△ABD∽△GCD，，tan∠EAF=，即可证明AF：AC=1：3；
（2）过D作DG∥BF交AC与F点，CD：DB=1：2，CG：GF=1：2，由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，所以，AF：FC=1：1，即可证明DE：AE=2：3；
（3）过D作DG∥BF交AC与F点，设CG=k，则：GF=nk，再由第二问的解题方法可求得n的值．
【解析】
（1）过C作CG⊥AC交AD的延长线于G点，如图1所示：
∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴．
∵AB=AC，
∴．
∴tan∠EAF=．
∴．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴==．
∴=．

（2）过D作DG∥BF交AC于G点，如图2所示：
∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一问知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=AE．

（3）过D作DG∥BF交AC于G点，如图3所示：
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
设CG=k，则：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n2k．
∴n=．