Question

几何模型：
条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

Answer

（1）由题意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根据勾股定理求得即可；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，求A′C的长，即是PA+PC的最小值；
（3）作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N，连接MN，它分别与OA，OB的交点Q、R，这时三角形PEF的周长=MN，只要求MN的长就行了．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由题意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根据勾股定理得，DE=；

（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即为A′C的长，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
∴；

（3）分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点Q、R，连接PR、PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN===10．
即△PQR周长的最小值等于10．