如图,抛物线y=
x
2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,四边形OBHC为矩形,CH的延长线交抛物线于点D(5,2),连接BC、AD.
(1)求C点的坐标及抛物线的解析式;
(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;
(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q.问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1:3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
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已知如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动;点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,点P、Q同时出发,当点P到达点A时停止运动,点Q也随之停止.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)当t=2时,AP=______,点Q到AC的距离是______;
(2)在运动的过程中,求△APQ的面积S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围)
(3)在点E运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形?若能,求t的值.若不能,请说明理由.
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已知关于x的函数y=ax
2+x+1(a为常数)
(1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值;
(2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围.
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几何模型:
条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是______;
(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
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在一次“爱心助学”捐款活动中,九(1)班同学人人拿出自己的零花钱,踊跃捐款,学生捐款额有5元、10元、15元、20元四种情况.根据统计数据绘制了图①和图②两幅尚不完整的统计图.
(1)该班共有______名同学,学生捐款的众数是______;
(2)请你将图②的统计图补充完整;
(3)计算该班同学平均捐款多少元?
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如图所示,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,过点C的切线交AD的延长线于点E,且AE⊥CE,连接CD.
(1)求证:DC=BC;
(2)若AB=5,AC=4,求tan∠DCE的值.
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