Question

如图1，抛物线y=ax²-10ax+8与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B，且C点的坐标为（2，0）
（1）求抛物线的函数表达式和A、B两点的坐标；
（2）如图，设点D是线段OA上的一个动点，过点D作DE⊥x轴交AB于点E，过点E作EF⊥y轴，垂足为F．记OD=x，矩形ODEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与AB交于点P（如图2），点Q是抛物线上的一个动点，点R是x轴上的一个动点．请求出当以P、Q、R、A为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标．

Answer

（1）根据题意易得对称轴的方程，又有AB∥x轴，结合对称轴的性质，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；
（2）根据题意将△PAC的周长用PC+PA表示出来，由抛物线的对称性分析可得P即为BC直线x=5的交点；由此设BC的解析式为：y=kx+b，将A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，进而可得其解析式；
（3）假设存在，在Rt△MOC与Rt△PBE中，根据勾股定理，结合MP∥BC分析可得答案．
【解析】
（1）∵y=ax2-10ax+8，
∴抛物线的对称轴为：x=-=-=5，
令x=0，得到y=8，
∴点B的坐标为（0，8），
∵点C坐标为：（2，0），
∵点A与点C关于对称轴x=5对称，
∴点A坐标为：（8，0），
将C（2，0）代入y=ax2-10ax+8得：4a-20a+8=0，
∴a=，
则抛物线的函数表达式为y=x2-5x+8；

（2）∵A（8，0），B（0，8），
∴设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得：'
解得：，
∴直线AB解析式为y=-x+8，
由OD=x，即E横坐标为x，
代入直线AB解析式得：y=-x+8，即ED=-x+8，
则矩形的面积S=x（-x+8）=-x2+8x，0＜x＜8，
当x=-=4，即D（4，0）时，S有最大值，最大值为16；

（3）根据题意画出图形，如图所示：

存在符合条件的点Q和R，使以P，R，Q，A为顶点的四边形为平行四边形，
若Q在对称轴右边，把x=5代入直线AB解析式，解得y=3，即Q纵坐标为3，
把y=3代入抛物线解析式得：3=x2-5x+8 解得：x=5±，
当Q的纵坐标为-3，还有点（5±，-3）
即 Q的坐标为：（5+，3）（5-，3）或（5+，-3）（5-，-3）．