Question

已知：抛物线y=-x²+2mx-4m-m²（m是常数）与x轴有两个交点．
（1）当m取最大整数时，求出此抛物线的解析式；
（2）设（1）中所求抛物线顶点为C，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A．点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在直线AC上．若S_△PAD=S_△ABC，求出点P的坐标．

Answer

（1）先求出方程有两实数根时m的值，进而可求得此抛物线的解析式；
（2）先求出A、B、C三点的坐标，分别按照①点D在线段AC上②点D在AC的延长线上③点D在CA的延长线上三种情况时的点P的坐标．
（1）【解析】
∵抛物线与x轴交于两点，
∴△＞0．即（2m）2+4（-4m-m2）＞0
解得：m＜0
∴m＜0时，抛物线与x轴有两个交点．
当m取最大的整数时，
∴m=-1．
即y=-x2-2x+3

（2）抛物线顶点C（-1，4），对称轴与x轴的交点B（-1，0）．
直线y=-x+3与x轴交于点A，
A（3，0）
BA=BC，∠PCD=45°．
①当点D在线段AC上时，设PD=DC=x，
AC=
根据题意，得
解得，x=
当x=时，PC=x=4+2．
P（-1，-2）
当x=2-2时，PC=4-2，
P（-1，2）
②当点D在AC的延长线上时，设PD=DC=x，
根据题意，得
解得，x=．
当x=-2-2＜0，舍去．
当x=-2+2时，PC=x=-4+2，
P（-1，2）
③当点D在CA的延长线上时，设PD=DC=x，
根据题意，得．
解得，x=2±2．
当x=2-2＜0，舍去．
当x=2+2时，PC=x=4+2．
P（-1，-2）、P（-1，-2）、P（-1，2）、P（-1，2）、P（-1，-2）．