Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，，，P是边BC上的一个动点，∠APQ=∠B，PQ交射线AD于点Q．设点P到点B的距离为x，点Q到点D的距离为y．
（1）用含x的代数式表示AP的长．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
（3）△CPQ与△ABP能否相似？如果能，请求出BP的长；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）过A作AH⊥BC于点H，可以求出AH，BH的长度，然后在Rt△AHP中，利用勾股定理表示AP的长度；
（2）先利用与等腰梯形的性质求出AD、BC的长度，然后证明△APQ和△PBA相似，根据相似三角形对应边成比例的性质列出比例式，再代入数据进行整理即可得到y关于x的函数解析式；
（3）要使△CPQ与△ABP相似，因为可以证明∠BAP=∠CPQ，所以还必须有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B，因此需要分两种情况进行讨论，根据相似三角形对应边成比例列比例式进行求解即可．
【解析】
（1）作AH⊥BC于点H．
∵cosB=，AB=5，
∴BH=3，AH=4．（2分）
在Rt△AHP中，
AP==．（1分）

（2）∵，
∴．
∴AD=4，BC=10．（1分）
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠APB．
∵∠APQ=∠B．
∴△APQ∽△PBA．（1分）
∴．（1分）
∴．
∴y=．（1分）
定义域为0＜x≤10；（1分）

（3）要使△CPQ与△ABP相似，必须有∠PQC=∠B或∠PCQ=∠B．
（i）如果∠PQC=∠B，那么∠APQ=∠PQC．
∴AP∥CQ．
∵AQ∥PC，
∴四边形APCQ是平行四边形．（1分）
∴AQ=PC，即y+4=10-x．
∴+4=10-x．（1分）
整理，得2x2-16x+25=0．
∴x=．（1分）
（ⅱ）如果∠PCQ=∠B时，那么点Q与点D重合．（1分）
∴y=0，即=0．（1分）
∴x=5．（1分）
综上所述，△CPQ与△ABP能相似，此时BP=或5．