Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE=CE，以点E为圆心EA长为半径作弧交AB于点D，连接DE，过点D作DF⊥DE交BC于点F，连接CD．
求证：（1）CD⊥AB；（2）CF=FB．

Answer

（1）由于AE=ED，CE=CD，那么∠EAD=∠EDA，∠ECD=∠EDC，因此根据三角形内角和定理可得出2（∠A+∠ACD）=180°，因此AC⊥CD．（方法2：由于EA=ED=EC，所以圆E必过C点，那么AC就是圆E的直径，根据圆周角定理即可得出AD⊥CD）．
（2）由于（1）中已经证得CD⊥AD，那么∠A+∠ACD=∠A+∠EDC=90°，而∠CDF+∠EDC=90°，因此∠A=∠CDF，同理可得∠A=∠FCD，因此∠A=∠FCD=∠FDC，那么同理可根据同角的余角相等分别得出∠CFD=∠DFC，∠BDF=∠BFD，那么即可得出CF=DF=BF．
证明：（1）∵AE=ED，CE=AE=ED，
∴∠A=∠EDA，∠EDC=∠ECD．
∵∠A+∠ECD+∠ADC=180°，
即∠A+∠ECD+∠EDC+∠EDA=180°，
∴2（∠A+∠ECD）=180°．
∴∠A+∠ECD=90°．
∴∠ADC=180°-（∠A+∠ECD）=180°-90°=90°．
∴CD⊥AB．

（2）∵∠FDB+∠ADE=90°，∠A=∠ADE，
∴∠A+∠FDB=90°．
∵∠A+∠B=90°，
∴∠FDB=∠B，
∴FD=FB．
∵∠EDC+∠FDC=90°，∠FCD+∠ECD=90°，
∵∠EDC=∠ECD，∴∠FDC=∠FCD．
∴CF=FD．
∴CF=FB．