Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求抛物线的解析式；                                    
（2）在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标；
（3）如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标．

Answer

（1）要求抛物线的解析式，由题意知只需要求出点C的坐标即可，而点C的坐标可以根据△AOC∽△COB求得．
（2）要求点M的坐标，根据平行四边形的性质两组对边分别平行且相等来确定点M的坐标．
（3）根据抛物线的对称性可知⊙P的圆心在对称轴上，再根据三角形外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等得知PC=PA，根据两点间的距离公式可以求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC2=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2）．（1分）
由题意，设抛物线解析式y=a（x-1）（x-4）．
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴．
∴；（2分）

（2）M1（3，2）或M2（-3，2）或M3（5，-2）；（3分）

（3）由（1）可得，抛物线的对称轴是直线，（1分）
∵⊙P经过点A、B，
∴圆心P在直线上，设．（1分）
∵点C在⊙P上，∴PC=PA，
∴，（2分）
解得y=2．（1分）
∴．（1分）