Question

已知在直角ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，则△ABC的外接圆半径长为    cm，△ABC的内切圆半径长为    cm，△ABC的外心与内心之间的距离为    cm．

Answer

首先运用勾股定理求出斜边AB=10cm，因为直角三角形的外心是斜边的中点，则外接圆的半径是斜边的一半，即为5cm．直角三角形的内切圆的半径r和三边的关系为r=（a，b为两直角边，c为斜边）可求的r．再运用勾股定理求外心与内心之间的距离即可．
【解析】
（1）∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB==10cm．
∴△ABC的外接圆半径长R===5cm．
故答案为：5cm．

（2）∵AC=8cm，BC=6cm，由（1）知AB=10cm，
∴△ABC的内切圆半径长r=，
=
=2cm．
故答案为：2cm．

（3）连接ID，IE，IF，
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，
又∵DI=EI，
∴四边形CDIE是正方形．
∴CD=CE=DI=IE，
由（2）知DI=IE=IF2cm，
∴CD=2cm．
∵BC=6cm，
∴BD=4cm．
∵⊙I是△ABC的内切圆，
∴BD=BF=4cm．
∵BO=5cm，
∴OF=1cm．
在Rt△IFO中，IO==cm．
∴△ABC的外心与内心之间的距离为cm．
故答案为：cm．