Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M．
（Ⅰ）求证：MO=BC；
（Ⅱ）求证：PC是⊙O的切线．

Answer

（1）根据三角形的中位线定理来证明MO=BC；
（2）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．
证明：（1）∵AB是直径，∴O是AB中点；
又∵M为AC中点，
∴OM是三角形ABC中位线，
∴MO=BC；

（2）证明：连接OC，
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90°．（1分）
∵PO过AC的中点M，OA=OC，
∴PO平分∠AOC．
∴∠AOP=∠COP．（3分）
∴在△PAO与△PCO中有OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO．
∴△PAO≌△PCO．（6分）
∴∠PCO=∠PA0=90°．
即PC是⊙O的切线．（7分）