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如图,在平面直角坐标系中,直线y=-manfen5.com 满分网x-manfen5.com 满分网与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2-manfen5.com 满分网x+c(a≠0)经过A,B,C三点.
(1)求过A,B,C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标;
(2)在抛物线上是否存在点P,使△ABP为直角三角形?若存在,直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)试探究在直线AC上是否存在一点M,使得△MBF的周长最小?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)抛物线解析式中有两个待定系数a,c,根据直线AC解析式求点A、C坐标,代入抛物线解析式即可; (2)分析不难发现,△ABP的直角顶点只可能是P,根据已知条件可证AC2+BC2=AB2,故点C满足题意,根据抛物线的对称性,点C关于抛物线对称轴的对称点也符合题意; (3)由于B,F是定点,BF的长一定,实际上就是求BM+FM最小,找出点B关于直线AC的对称点B',连接B'F,交AC于点M,点M即为所求,由(2)可知,BC⊥AC,延长BC到B',使BC=B'C,利用中位线的性质可得B'的坐标,从而可求直线B'F的解析式,再与直线AC的解析式联立,可求M点坐标. 【解析】 (1)∵直线y=-x-与x轴交于点A,与y轴交于点C ∴点A(-1,0),C(0,-) ∵点A,C都在抛物线上, ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y=x2-x- ∴顶点F(1,-). (2)存在: p1(0,-),p2(2,-). (3)存在 理由: 解法一: 延长BC到点B′,使B′C=BC,连接B′F交直线AC于点M,则点M就是所求的点, ∵过点B′作B′H⊥AB于点H, ∵B点在抛物线y=x2-x-上, ∴B(3,0), 在Rt△BOC中,tan∠OBC= ∴∠OBC=30°,BC=2 在Rt△B′BH中,B′H=BB′=2 BH=B′H=6,∴OH=3, ∴B′(-3,-2). 设直线B′F的解析式为y=kx+b, ∴, 解得, ∴y=. , 解得, ∴M() ∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M(). 解法二: 过点F作AC的垂线交y轴于点H,则点H为点F关于直线AC的对称点,连接BH交AC于点M,则点M 即为所求. 过点F作FG⊥y轴于点G,则OB∥FG,BC∥FH, ∴∠BOC=∠FGH=90°,∠BCO=∠FHG ∴∠HFG=∠CBO 同方法一可求得B(3,0) 在Rt△BOC中,tan∠OBC= ∴∠OBC=30°,可求得GH=GC= ∴GF为线段CH的垂直平分线,可证得△CFH为等边三角形 ∴AC垂直平分FH 即点H为点F关于AC对称点, ∴H(0,-) 设直线BH的解析式为y=kx+b,由题意得,, 解得, ∴y=, , 解得, ∴M(), ∴在直线AC上存在点M,使得△MBF的周长最小,此时M().
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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