Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，BD=1，∠CBD的正切值为2．
（1）求AD的长；
（2）如果点E在以B为圆心BA为半径的弧上，CE∥AB，求sin∠EBA的值．

Answer

（1）由已知△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，所以∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，则∠ACD=∠CBD，由两个直角三角形△BCD和△ACD求出AD．
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，由已知可得EH=CD，CD在（1）中已求出，又由已知和（1）求出的AD可求出BE，从而求出sin∠EBA的值．
【解析】
（1）在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠CBD，∴tan∠ACD=tan∠CBD=2．（2分）
在Rt△BCD中，CD=BD•tan∠CBD=1×2=2．（2分）
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=2×2=4．（2分）

（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，（1分）
∵CE∥AB，CD⊥AB，∴EH=CD=2，（1分）
∵点E在以B为圆心BA为半径的弧上，∴BE=AB=AD+BD=5，（1分）
∴sin∠EBA=．（1分）