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已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边...

已知:如图,一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上,并且使一条直角边经过点C,三角板的另一条直角边与AD交于点Q.
(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个).
(2)当点P满足什么条件时,有AQ+BC=CQ?请证明你的结论.
(3)当点Q在AD的什么位置时,可证得PC=3PQ?并写出论证的过程.

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(1)根据正方形的性质,以及直角三角形的性质即可判断; (2)连接CQ,延长QP,交CB的延长线于点E.可证△APQ≌△BPE.即可证得:CQ=CE,据此即可证得; (3)首先证得:△APQ∽△BCP,然后对三角形的对应边,分两种情况讨论即可求解. 【解析】 (1)△APQ∽△BCP.(答案不唯一) (2)当P为AB中点时,有AQ+BC=CQ. 证明:连接CQ,延长QP,交CB的延长线于点E. 可证△APQ≌△BPE. 则AQ=BE,PQ=PE. 又因为CP⊥QE,可得CQ=CE, 所以AQ+BC=CQ. (3)当时,有PC=3PQ. 证明:在正方形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=BC=AB. 又因为直角三角板的顶点P在边AB上, 所以∠1+∠2=180°-∠QPC=90°. 因为Rt△CBP中,∠3+∠2=90°, 所以∠1=∠3. 所以△APQ∽△BCP. 所以.因为, 所以.所以,或(不合题意,舍去). 所以. 所以PC=3PQ.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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