Question

如图，已知抛物线l₁：y=x²-4的图象与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；
（2）若点B是抛物线l₁上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；
（3）探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为关于x轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以可得l2的解析式；
（2）设点B的坐标为（x1，x12-4），根据题意求的点D的坐标，代入解析式即可证明：点D在l2上；
（3）首先表示出S的值，根据函数值的范围即可得当点B在x轴上方时，y1＞0，
S=4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，∴S既无最大值也无最小值；
当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0，S最大=16．
（1）【解析】
设l2的解析式为y=a（x-h）2+k
∵l1与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）（1分）
∴y=ax2+4（2分）
∴0=4a+4得a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4（3分）

（2）证明：设B（x1，y1）
∵点B在l1上
∴B（x1，x12-4）（4分）
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D（-x1，-x12+4）．（6分）
将D（-x1，-x12+4）的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上．（7分）

（3）【解析】
设平行四边形ABCD的面积为S，
则S=2S△ABC=AC×|y1|=4|y1|
a．当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S=4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值（8分）
b．当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0
∴S=-4y1，它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1=-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上．（9分）
∴AC⊥BD．
∴平行四边形ABCD是菱形（10分），
此时S最大=16．（11分）