Question

已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D-A-B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC与P，交BD于点Q．
（1）点D到BC的距离为______；
（2）求出t为何值时，QM∥AB；
（3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形．

Answer

（1）分别过点A，D作BC边上的高，交BC边于E，F，由于四边形ABCD是等腰梯形，可得出BE=CF=（BC-AD）÷2=1，又由AB=DC=2，根据勾股定理可得点D到BC的距离DF==
（2）根据（1）得出的DF的值，可求出BD的长为2，那么三角形BDC是个直角三角形，且∠C=60°，∠DBC=30°，如果QM∥AB，可得出∠PMQ度数也是60°，可先表示出MP的长，然后根据∠PQM的度数表示出PQ，然后根据QP∥DF，得出关于QP，DF，BP，BF的比例关系式，DF的值是定值，可表示出BP，BF，这样就可求出t的值．
（3）要分两种情况进行讨论
①当N在AD上时，关键是求出PQ，可在直角三角形BPQ中，先表示出BP，然后根据∠QBP的度数即可求出PQ的长，然后根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．
②N在AB上时，还是要先求出PQ的值，可先表示出BN，然后在直角三角形BNP中，表示出BP，进而在直角三角形BPQ中，用BP表示出PQ，即可根据三角形的面积公式得出S，t的函数关系式．
（4）也要分两种情况进行讨论．
第一种情况，当N在AD上时，①当∠BMQ=90°时，那么M，P重合，于是就有BM+ND+FC=BC，即2t+1=4，即可得出t的值．
②当∠BQM=90°时，可先在直角三角形NDQ中，用ND的长，表示出NQ，然后根据求出的D到BC的距离，即可表示出PQ，这时PQ的第一种表示方法．第二种表示方法是，在直角三角形BMQ中，用BM表示出QM，然后在直角三角形QPM中，表示出PQ，然后可让这两个表示PQ的式子相等，即可得出此时的t的值．
第二种情况，当N在AB上时，此时只有∠BQM=90°，方法同②，也是通过不同的表示PQ的方法来得出t的值，方法同（3）②．
【解析】
（1）

（2）过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形．
BE=CF==1．
直角三角形CFD中，CF=1，CD=2，cos∠C=
∴∠C=60°，DF=．
∴∠ABE=∠C=60°
∵QM∥AB
∴∠QMP=60°
∵BM=t，PF=ND=t，FC=1，BC=4
∴PM=3-2t，BP=3-t．
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=3-2t，QP=（3-2t）．
∵QP⊥BC，DF⊥BC
∴QP∥DF，
∴△BQP∽△BDF，
∴=，即=
∴5t=6，即t=1.2（s）
当t=1.2s时，QM∥AB

（3）当0＜t≤2时，三角形BDF中，BF=3，DF=，
∴BD=2
三角形BCD中，CD=2，BD=2，BC=4，
因此BD2+CD2=BC2，
即三角形BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，∠DBC=30°．
直角三角形BQP中，BP=3-t，∠DBC=30°，
∴PQ=（3-t）
因此：S=×t×（3-t）=-t2+t
当2＜t＜4时，直角三角形NBP中，∠ABC=60°，BN=4-t，
∴BP=．
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=，
∴QP=
因此：S=×t×=-t2+t

（4）当0＜t≤2时，即N在AD上时，分两种情况进行讨论：
①当∠BMQ=90°，即M与P点重合，那么BM+PF+CF=BM+ND+CF=2t+1=4
解得：t=1.5s．
②当∠BQM=90°，在直角三角形NQD中，ND=t，∠ADB=∠DBC=30°，
∴NQ=t．
∵NP=
∴QP=-t
在直角三角形BQM中，∠DBC=30°，BM=t
∴QM=t
在直角三角形QPM中，∠QMP=60°，QM=t
∴QP=t
∴-t=t．
解得t=s．
当2＜t＜4时，∠BQM=90°
直角三角形BNP中，BN=4-t，∠ABC=60°，
∴BP=，
∴PM=BM-BP=t-=
在直角三角形BPQ中，∠DBC=30°，BP=
∴PQ=
直角三角形QPM中，∠QMP=60°，PM=
∴PQ=
因此=，
解得t=1.6s，与此时t的取值范围不符，
因此这种情况不成立．
综上所述，当t=1.5s或s，△BMQ是直角三角形．