Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2，BC=4，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，连接DE、CE，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，得△BCF，连接EF．判断EF与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当CE=2BE，∠BEC=135°时，求cos∠BFE的值．

Answer

（1）如图，过A作AP⊥DC于点P，由AB∥CD可以得到∠ABC=90°，然后得到四边形APCB是矩形，接着利用已知条件可以求出PC=AB=2，AP=BC=4，又在Rt△ADP中，根据tan∠ADC=可以求出DP=2，接着得到DC=4，由此即可解决问题；
（2）EF=CE．由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，根据旋转的性质得到CF=CE，∠ECF=90°，然后利用勾股定理即可求出EF；
（3）由（2）得∠CEF=45°，而∠BEC=135°，由此得到∠BEF=90°．设BE=a，则CE=2a，由EF=CE，则EF=．在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，然后根据余弦的定义即可求解．
【解析】
（1）证明：作AP⊥DC于点P．
∵AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四边形APCB是矩形，
∴PC=AB=2，AP=BC=4．
在Rt△ADP中，tan∠ADC=即=2，
∴DP=2，
∴DC=DP+PC=4=BC．

（2）EF=CE．
证明如下：由△DCE绕点C顺时针旋转90°得△BCF，
∴CF=CE，∠ECF=90°，
∴EF=．

（3）由（2）得∠CEF=45°．
∵∠BEC=135°，
∴∠BEF=90°．
设BE=a，则CE=2a，由EF=CE，则EF=
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BF=3a，
∴cos∠BFE=．