Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点M的坐标为（1，-2）与y轴交于点C（0，），与x轴交于A、B两点（A在B的左边）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点P是线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段BM上移动且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=₁，求y₁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①在（2）的条件下是否存在点P，使△PQB是PB为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由；
②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标．

Answer

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-1）2-2，将点C的坐标代入即可得出答案；
（2）先证明△MPQ∽△MPB，根据相似的性质列等式，求y1与x的函数关系式；
（3）①假设存在满足条件的P点，根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形，作PB的垂直平分线交BM于Q，QP=QB．求出P点和Q点坐标；②根据△BMF是等腰三角形，只要点F使得该三角形的两边相等即可．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点为M（1，-2）可设y=a（x-1）2-2，
由点（0，）得：，
∴．
∴，即．

（2）在x2=3中，由y=0，得，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A为（-1，0），B为（3，0）．
∵M（1，-2），
∴∠MBO=45°，MB=，
∴∠MPQ=45°∠MBO=∠MPQ，
又∵∠M=∠M，
∴△MPQ∽△MPB，
∴，
∴，
即，
∴（0≤x＜3）．

（3）①存在点Q，使QP=QB，即△PQB是以PB为底的等腰三角形，
作PB的垂直平分线交BM于Q，则QP=QB．
∴∠QPB=∠MBP=45°
又∵∠MPQ=45°，
∴此时MP⊥x轴，
∴P为（1，0），
∴PB=2．
∴Q的坐标为（2，-1）．
②使△BMF是等腰三角形的F点有：
F1（1，0），F2（1，），F3（1，），F4（1，2）．