Question

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？
（3）求y与x之间的函数关系式；
（4）①当x取何值时，重叠部分的面积最大，并求出这个最大值；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？

Answer

（1）根据矩形的性质推出AB=CD，AD=BC，根据解直角三角形求出∠CDB=30°，根据平行线的性质和数据线的内角和定理求出即可；
（2）根据轴对称的性质可知△RPQ≌△CPQ，推出∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，在△RPB中得出2（3-x）=x，求出即可；
（3）当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，求出S△CPQ的值，推出当0＜x≤2时，y=x2，当R在矩形ABCD的外部，求出PF=2BP=2（3-x），求出RF\ER=x-6，进一步求出S△ERF即可；
（4）①当0＜x≤2时，求出y的最大值，当2＜x＜3时，求出在x=时，y最大值=，②矩形面积=9×3=27，根据计算求出当0＜x＜2时，y的值不可能是矩形面积的；当2＜x＜3时，根据题意得出方程-x2+18x-18=7，求出方程的解即可．
【解析】
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=9，AD=3，∠C=90°，
∴CD=9，BC=3，
∴tan∠CDB==，∴∠CDB=30°，
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°，
∴∠CPQ=90°-∠CQP=60°，
答：∠CPQ的度数是60°．

（2）【解析】
如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP，
由（1）知：∠CQP=30°，∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP，
∵CP=x，
∴PR=x，PB=3-x，
在△RPB中，根据题意得：2（3-x）=x，
解这个方程得：x=2，
答：当x取2时，点R落在矩形ABCD的AB边上．

（3）【解析】
当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
如图1：FE的范围是0＜x≤2，
S△CPQ=×CP×CQ=x×x=x2，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴当0＜x≤2时，y=x2，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），2＜x＜3，
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（3-x），
∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=x-6，
∴S△ERF=×ER×FR=x2-18x+18，
∵y=S△RPQ-S△ERF，
∴当2＜x＜3时，y=-x2+18x-18，
答：y与x之间的函数解析式是：y=．

（4）【解析】
①当0＜x≤2时，函数y=x2随自变量的增大而增大，
∴y的最大值是6，
当2＜x＜3时，y=-x2+18x-18=7，
∵-＜0，
∴在x==3时，y的最大值==，
∴当2＜x＜3时，y没有最大值．
②矩形面积=9×3=27，
当0＜x≤2时，y的最大值是6，
而矩形面积的的值=×27=7，
而7＞6，
∴当0＜x＜2时，y的值不可能是矩形面积的；
当2＜x＜3时，根据题意，得：-x2+18x-18=7，
解这个方程，得x=3±，
∵3+＞3，
∴x=3+不合题意，舍去，
∴x=3-，
答：当x=3-时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．