Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=3，∠ABC的平分线交半圆于D，AD，BC的延长线交于E，则四边形ABCD的面积是△DCE面积的（ ）

A．7倍
B．8倍
C．3倍
D．4倍

Answer

连OC，AC，先由DB平分∠ABC，可得到OD∥BE，则OD为△ABC的中位线，OD=AB=×4=2，EC=1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC==，从而在Rt△ACE中，利用勾股定理得到AE==2 ，然后利用△EDC∽△EBA得到它们的面积比，最后得四边形ABCD的面积与△DCE面积的数量关系．
【解析】
连OC，AC，如图，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
而∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
而O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD=AB=×4=2，
∴BE=4，则EC=4-3=1，
由AB是直径，所以∠ACB=90°，
∴AC==，
∴AE==2 ，
又∵∠EDC=∠ABE，
∴△EDC∽△EBA，
∴S△EDC：S△EBA=（ ）2=（ ）2=，
所以S△EDC：S四边形ABCD=1：7，
故选A．