Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形…按这样的规律进行下去，第3个正方形的面积为    ；第n个正方形的面积为    （用含n的代数式表示）．

Answer

根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律．
【解析】
设正方形的面积分别为S1，S2…，Sn，
根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，
∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．
∵∠ABA1=∠A1B1A2=∠A2B2x=90°，
∴△BAA1∽△B1A1A2，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，tan∠ADO==，
∵tan∠BAA1==tan∠ADO，
∴BA1=AB=，
∴CA1=+，
同理，得：C1A2=×（1+）
由正方形的面积公式，得：S1=（）2，
S2=（）2×（1+）2，
S3=（）2×（1+）4=5×（）4，
由此，可得Sn=（）2×（1+）2（n-1）=5×（）2n-2．
故答案为：5×（）4，5×（）2n-2．