Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q（图1）
（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；
（2）当PQ=DQ时，求BP的长．（图2）

Answer

（1）过B点作BE⊥CD，垂足为E，根据∠C的正切值可以求出CE的长度，然后利用勾股定理即可求出BC的长度；先求出CD的长度，再利用梯形的面积公式进行求解即可；
（2）过点P作PN⊥CD，交CD于点N，交AB的延长线于M，根据题意可以看做点P是点Q沿AQ翻折而得到的，根据翻折的对称性，AP=AD，再设BP=x，利用∠C的正切值表示出PM，BM，然后在△APM中，利用勾股定理列式计算即可求出BP的长度．
【解析】
（1）如图，过B点作BE⊥CD，垂足为E，
在Rt△BEC中，∠BEC=90度，tanC=，AD=BE=4，
∴tanC==，CE=3，
由勾股定理可得BC=5（2分），
∵AB=DE=2，
∴CD=5，（3分）
∴S梯形ABCD=；

（2）解法一：
如图，过点P作PN⊥CD，交CD于点N，交AB的延长线于M，
已知条件可知点P是点D沿AQ翻折而得到的，推得AP=4，
∵梯形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠MBP=∠C，
在Rt△BMP中，∠BMP=90度，BP=x，tan∠MBP=tan∠C=，（4分）
可推得MP=，BM=，
在Rt△AMP中，利用勾股定理可推得AM2+MP2=AP2，
即，
整理方程得5x2+12x-60=0，（5分）
解之满足条件的；

解法二
【解析】
过点A作AG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由题意可知：AP=4，
∵梯形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABG=∠C，
∵AB=2，tan∠ABG=tan∠C=，（4分）
∴可通过解直角三角形得AG=BG=，（5分）
在Rt△APG中，利用勾股定理可得AG2+GP2=AP2，
即，
化简得5x2+12x-60=0，
以下解法同上．

解法三：
【解析】
如图，延长AP与DC相交于点F，
可推得AP=4，
由已知可得AB=2，BP=x，CP=5-x，
利用相似三角形的知识或平行线截线段成比例，（5分）
定理可得，
在Rt△ADF中，∠D=90度，AD2+DF2=AF2，
即．（5分）
化简得5x2+12x-60=0，以下解法同解法一、二．