Question

已知关于x函数y=（2-k）x²-2x+k
（1）若此函数的图象与坐标轴只有2个交点，求k的值．
（2）求证：关于x的一元二次方程（2-k）x²-2x+k=0必有一个根是1．

Answer

（1）分情况讨论：（i）k-2=0时，求出k．（ⅱ）k-2≠0时，得到一个二次函数，①抛物线与x轴只有一个交点，△=4（k-1）2，求出k；②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，求出k．
（2）设关于x的一元二次方程（2-k）x2-2x+k=0的两个实数根分别为x1，x2，根据公式求出方程的解即可得到答案．
（1）【解析】
分情况讨论：
（i）k-2=0时，得k=2．
此时y=-2x+2与坐标轴有两个交点，符合题意；
（ⅱ）k-2≠0时，得到一个二次函数，
①抛物线与x轴只有一个交点，△=b2-4ac=（-2）2-4k（2-k）=4（k-1）2，
解得k=1；
②抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），
把（0，0）代入函数解析式，易得k=0；
故答案为：2或0或1．

（2）证明：设关于x的一元二次方程（2-k）x2-2x+k=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程（2-k）x2-2x+k=0必有一个根是1．