Question

如图在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），以点A为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，B两点，C为⊙A上一点，P是x轴上的一点，连接CP，将⊙A向上平移1个单位长度，⊙A与x轴交于M、N，与y轴相切于点G，且CP与⊙A相切于点C，∠CAP=60°．请你求出平移后MN和PO的长．

Answer

（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接AM，根据垂径定理得到HM=HN，在Rt△AMH中，利用勾股定理即可求出MH，于是得到MN；
（2）分两种情况讨论：满足要求的C有两个：C1、C2．当∠C1AP1=60°时，CP是⊙A切线，根据切线的性质得到∠AC1P1=90°，则AP1=2AC1=4，再在Rt△AP1H中利用勾股定理计算出P1H，则OP1=P1H-MH；同理可求出OP2．
【解析】
如图，（1）连接OA，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，连接AM．
则HM=HN，
在Rt△AMH中，
∵AM=2，AH=1，
∴MH==，
∴MN=；

（2）∵CP是⊙A切线，且∠CAP=60°
∴满足要求的C有两个：C1、C2
如图，∠C1AP1=60°或∠C2AP2=60°
当∠C1AP1=60°时，
∵CP是⊙A切线，
∴∠AC1P1=90°，AC1=2，
∴AP1=4，
在Rt△AP1H中，AH=1，AP1=4，
∴，
∴，
同理可求，
∴，
∴OP的长是或．