Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，E是AB的中点，过E点作射线EF∥BC，交CD于点G，AB、AD的长恰好是方程x²-4x+a²+2a+5=0的两个相等实数根，动点P、Q分别从点A、E出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿射线AB由点A向点B运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿EF由E向F运动，设点P、Q运动的时间为t．
（1）求线段AB、AD的长；
（2）如果t＞1，DP与EF相交于点N，求△DPQ的面积S与时间t之间的函数关系式；
（3）当t＞0时，是否存在△DPQ是直角三角形的情况？如果存在请求出时间t；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）根据两根相等可得出判别式等于零，从而可得出AB和AD的长度．
（2）过点P作PM⊥DA，交DA的延长线于M，过点D作DK⊥EF，求出表示△DPQ的面积S需要的线段长度，然后利用三角形的面积表达式可得出两者的关系．
（3）直角三角形，因为不确定哪个角是直角，所以需要分类讨论，注意不要漏解．
【解析】
（1）根据题意可知，△=42-4（a2+2a+5）=-4（a+1）2=0，
∴a=-1，
原方程可化为：x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
∴AD=AB=2．

（2）过点P作PM⊥DA，交DA的延长线于M，过点D作DK⊥EF，
∵∠A=120°，AD∥BC且AD=AB=2，
∴∠B=60°，，
∵E是AB中点，且EF∥BC，
∴，
∵AP=t，
∴，
∵t＞1 AE=1，
∴P在E的下方，
∴，
∵E是AB中点，AD∥EF，AB=2，
∴，
∴，
∴，
∴S△DPQ=，
=，

（3）根据题意可知：，
∴，
∴DP2=（DM）2+（PM）2，

DP2=t2+2t+4，
根据勾股定理可得：

，
，
PQ2=7t2-4t+1，
①当∠PDQ=90°，PQ2=DQ2+PD2
7t2-4t+1=4t2-10t+7+t2+2t+4，
解之得：（舍负），
②当∠DPQ=90°，DQ2=PQ2+PD2
4t2-10t+7=7t2-4t+1+t2+2t+4，
解之得：（舍负），
③当∠DQP=90°，PD2=DQ2+PQ2，
t2+2t+4=7t2-4t+1+4t2-10t+7，
解之得：，
综上，当，，时△DPQ是直角三角形．