Question

已知，如图，⊙D交y轴于A、B，交x轴于C，过点C的直线：与y轴交于P，且D的坐标（0，1）．
（1）求点C、点P的坐标；
（2）求证：PC是⊙D的切线；
（3）判断在直线PC上是否存在点E，使得S_△EOP=4S_△CDO？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先根据函数解析式可以求得C（ ，0），P（0，-8）；
（2）利用（1）的结论可以求出cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，由此即可证明即PC是⊙D的切线；
（3）设直线PC上存在一点E（x，y），根据使S△EOP=4S△CDO 可以列出关于x的方程，解方程求出x，然后利用直线PC的解析式即可求出E的坐标．
（1）【解析】
∵直线y=与x轴、y轴分别交于点C、P，
∴当x=0时，y=-8，
当y=0时，x=-2，
∴C（ ，0），P（0，-8）；

（2）证明：根据（1）得OC=2，OP=8，OD=1，
∴cot∠OCD==，cot∠OPC==，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切线；

（3）【解析】
设直线PC上存在一点E（x，y），
使S△EOP=4S△CDO，即×8×|x|=4××1×2 ，
解得x=±，由y=-2 x-8可知：
当x=时，y=-12，
当x=-时，y=-4，
∴在直线PC上存在点E（ ，-12）或（-，-4），
使S△EOP=4S△CDO；