Question

已知a、c为实数，直线y₁=（a+1）x-1，抛物线y₂=x²+ax+c．
（Ⅰ）在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若c=2，，求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若c＞0，证明在实数范围内，对于x的同一个值，直线与抛物线对应的y₁＜y₂均成立；
（Ⅲ）若a=-1，当-1＜x＜4时，抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据tan∠ABO==的值代入可得抛物线的解析式；
（Ⅱ）根据y2-y1=x2+ax+c-[（a+1）x-1]，直接化简配方即可得出答案；
（Ⅲ）把a代入解析式可得△=1-4c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线与x轴的负半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，若c=2，，
∴tan∠ABO==，
∴A（-1，0），
代入解析式y2=x2+ax+c，
∴0=1-a+2，
∴a=3，
∴y2=x2+3x+2；
（Ⅱ）∵c＞0，
∴y2-y1=x2+ax+c-[（a+1）x-1]，
=（x-）2++c，
y2-y1＞0，
∴在实数范围内，对于x的同一个值，直线与抛物线对应的y1＜y2均成立；

（Ⅲ）当a=-1时，抛物线为y2=x2-x+c，且与x轴有公共点．
对于方程x2-x+c=0，判别式△=1-4c≥0，有c≤．（3分）
①当 c=时，由方程x2-x+=0，解得x1=x2=．
此时抛物线与x轴只有一个公共点（，0）；（4分）
②当 c＜时，x1=-1时，y1=2+c；
x2=4时，y2=12+c．
由已知-1＜x＜4时，该抛物线与x轴有公共点，考虑其对称轴为 x=，
应有 即
解得-12＜c≤-2．
综上，c= 或-12＜c≤-2．（6分）