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几何模型: 条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一...

几何模型:
条件:如下图,A、B是直线l同旁的两个定点.
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问题:在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.
方法:作点A关于直线l的对称点A′,连接A′B交l于点P,则PA+PB=A′B的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.连接BD,由正方形对称性可知,B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则PB+PE的最小值是______
(2)如图2,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P是OB上一动点,求PA+PC的最小值;
(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
(1)由题意易得PB+PE=PD+PE=DE,在△ADE中,根据勾股定理求得即可; (2)作A关于OB的对称点A′,连接A′C,交OB于P,求A′C的长,即是PA+PC的最小值; (3)作出点P关于直线OA的对称点M,关于直线OB的对称点N,连接MN,它分别与OA,OB的交点Q、R,这时三角形PEF的周长=MN,只要求MN的长就行了. 【解析】 (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AC垂直平分BD, ∴PB=PD, 由题意易得:PB+PE=PD+PE=DE, 在△ADE中,根据勾股定理得,DE=; (2)作A关于OB的对称点A′,连接A′C,交OB于P, PA+PC的最小值即为A′C的长, ∵∠AOC=60° ∴∠A′OC=120° 作OD⊥A′C于D,则∠A′OD=60° ∵OA′=OA=2 ∴A′D= ∴; (3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN,MN交OA、OB于点Q、R,连接PR、PQ,此时△PQR周长的最小值等于MN. 由轴对称性质可得,OM=ON=OP=10,∠MOA=∠POA,∠NOB=∠POB, ∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°, 在Rt△MON中,MN===10. 即△PQR周长的最小值等于10.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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