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如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,...

如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,点A、C在x轴上,点B坐标为(3,m)(m>0),线段AB与y轴相交于点D,以P(1,0)为顶点的抛物线过点B、D.
(1)求点A的坐标(用m表示);
(2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连接PQ并延长交BC于点E,连接BQ并延长交AC于点F,试证明:FC(AC+EC)为定值.

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(1)AO=AC-OC=m-3,用线段的长度表示点A的坐标; (2)∵△ABC是等腰直角三角形,∴△AOD也是等腰直角三角形,∴OD=OA,∴D(0,m-3),又P(1,0)为抛物线顶点,可设顶点式,求解析式; (3)设Q(x,x2-2x+1),过Q点分别作x轴,y轴的垂线,运用相似比求出FC、EC的长,而AC=m,代入即可. (1)【解析】 由B(3,m)可知OC=3,BC=m,又△ABC为等腰直角三角形, ∴AC=BC=m,OA=m-3, ∴点A的坐标是(3-m,0). (2)【解析】 ∵∠ODA=∠OAD=45°∴OD=OA=m-3,则点D的坐标是(0,m-3). 又抛物线顶点为P(1,0),且过点B、D, 所以可设抛物线的解析式为:y=a(x-1)2, 得: 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1; (3)证明:过点Q作QM⊥AC于点M,过点Q作QN⊥BC于点N, 设点Q的坐标是(x,x2-2x+1), 则QM=CN=(x-1)2,MC=QN=3-x. ∵QM∥CE ∴△PQM∽△PEC ∴ 即,得EC=2(x-1) ∵QN∥FC ∴△BQN∽△BFC ∴ 即,得 又∵AC=4 ∴FC(AC+EC)=[4+2(x-1)]=(2x+2)=×2×(x+1)=8 即FC(AC+EC)为定值8.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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