Question

如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，连接OA，交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线交AC于点E，连接B、D并延长交AC于点F．则下列结论错误的是（ ）

A．△ADE∽△ACO
B．△AOC∽△BFC
C．△DEF∽△DOC
D．CD²=DF•DB

Answer

根据相似三角形的判定定理，对各选项的三角形进行分析证明，然后利用排除法求解．
【解析】
A、∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠DAE=∠CAO，
∴△ADE∽△ACO；
故本选项正确；
B、假设△AOC∽△BFC，
则有∠OAC=∠FBC，
∵∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，
∴AC是⊙O的切线，
∴∠ACD=∠FBC，
∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ODC=∠COD，
∴OC=CD，
又∵OD=OC，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等边三角形，∠AOC=60°，
∴AC=OC①，
而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，
∴AC=2OC②，
∴假设与题目条件相矛盾，
故假设不成立，所以△AOC与△BFC不相似；
故本选项错误；
C、∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BFC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠BFC，
∵DE是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，
∴∠CDE=∠CED=∠CBD，
又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，
∠COD=2∠CBD，
∴∠AED=∠COD，
在△DEF∽△DOC中，，
∴△DEF∽△DOC，
故本选项正确；
D、∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥BF，
∵∠ACB=90°，
∴CD2=DF•DB，
故本选项正确．
故选B．