Question

如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．
（1）求证：AB•AF=CB•CD；
（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是线段DE上的动点．设DP=x cm，梯形BCDP的面积为ycm²．
①求y关于x的函数关系式．
②y是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由．

Answer

（1）先根据AD=CD，DE⊥AC判断出DE垂直平分AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质可得出∠DCF=∠DAF=∠B，在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B可知△DCF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案；
（2）①先根据勾股定理求出AC的长，再由梯形的面积公式即可得出x、y之间的函数关系式；
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例可求出AB、EF的长，进而可得出△AEF∽△DEA及DF的长，根据DE=DF+FE可求出DE的长，由①中的函数关系式即可得出结论．
证明：（1）∵AD=CD，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，（1分）
∴AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF．
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，
∴∠DCF=∠DAF=∠B．（2分）
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B，
∴△DCF∽△ABC．（3分）
∴=，即=，
∴AB•AF=CB•CD；（4分）

（2）【解析】
连接PB，
①∵AB=15，BC=9，∠ACB=90°，
∴AC===12，（6分）
∴CF=AF=6．
∴y=（x+9）×6=3x+27；（7分）
②由EF∥BC，得△AEF∽△ABC．
AE=BE=AB=，EF=．（8分）
由∠EAD=∠AFE=90°，∠AEF=∠DEA，得△AEF∽△DEA．
Rt△ADF中，AD=10，AF=6，
∴DF=8．
∴DE=DF+FE=8+=．（9分）
∵y=3x+27（0≤x≤），函数值y随着x的增大而增大，
∴当x=时，y有最大值，此时y=．（10分）