Question

在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点．
（1）如图1，若E为AB上的一个动点，当△CGE的周长最小时，求AE的长．
（2）如图2，若E、F为边AB上的两个动点，且EF=4，当四边形CGEF的周长最小时，求AF的长．

Answer

（1）如图，作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小．接着利用△MAE∽△MCD即可求出AE的长度；
（2）如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4，那么E、F两点即可满足题目要求，最后利用相似三角形的性质即可求出AF的长．
【解析】
（1）∵E为AB上的一个动点，
∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DCM，
∴AE：CD=MA：MD，
∴AE==2；

（2）∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=4，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G为边AD的中点，
∴AG=AM=4，MD=12，而CH=4，
∴DH=2，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD=MA：MD，
∴AE==，
∴AF=4+=．