Question

如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．
（1）△ABE与△DBC相似吗？请说明理由；
（2）若BC=5，CD=，求sin∠AEB的值；
（3）在（2）的条件下求弦AB的长．

Answer

（1）由BC为半圆的直径，可得∠BAC=∠BDC=90°，又由∠ABD=∠CBD，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得）△ABE与△DBC相似；
（2）由△ABE∽△DBC，可得∠AEB=∠DCB，则由sin∠AEB=sin∠DCB即可求得sin∠AEB的值；
（3）先判断△DCE∽△DBC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得弦AB的长．
【解析】
（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=，
∴BD=，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=；

（3）∵D为AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴，
∴DE=，
∴BE=BD-DE=，
∴AB=BE•sin∠AEB=•=3．