Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=CD，E为梯形内一点，∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°，使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M．给出以下5个命题：
①DM：MC=MF：ME；           
②BE⊥DF；
③若sin，则；
④若tan，则点D到直线CE的距离为1；
⑤若M为EF中点，则点B、E、D三点在同一直线上．
则正确命题的个数（ ）

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer

根据旋转的性质即可得：△BCE≌△DCF，又由同角的余角相等易证：∠ECM=∠EBC=∠FDC，则可证得：EC∥DF，即可得DM：MC=MF：ME；
由BE⊥EC，EC∥DF，易证得：BE⊥DF；
由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形的面积比等于对应底的比即可求得答案；
由三角函数与勾股定理即可求得点D到直线CE的距离；
根据题意易证得：四边形DECF是矩形，即可得∠BED是平角，则问题得证．
【解析】
①根据题意得：△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵AD∥BC，∠ADC=90°，∠BEC=90°，
∴∠BCD=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠ECM=∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠ECM=∠EBC=∠FDC，
∴EC∥DF，
∴△ECM∽△FDM，
∴DM：MC=MF：ME；
故①正确；
②∵∠BEC=90°，
∴BE⊥EC，
∵EC∥DF，
∴BE⊥DF．
故②正确；
③∵△ECM∽△FDM，
∴EC=CF，BC=DC，
∵sin∠EBC=，
∴=，
∴EC：DF=1：，
∴S△ECM：S△FDM=1：3，
∵CM：DM=1：，
∴S△FDM：S△DCF=：（1+），
∴．
故③正确；
④过点D作DN⊥EC 交EC的延长线于点N，
∵tan∠EBC=，BC=，
∴tan∠DCN=，CD=，
∴DN=1，
则点D到直线CE的距离为1；
∴④正确；
⑤∵M为EF中点，
∴EM=FM，
∵CE=CF，
∴△CEF与△DEF是等腰直角三角形，
∴DM=CM，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴∠DEC=90°，
∵∠BEC=90°，
∴∠BED=180°，
∴点B、E、D三点在同一直线上．
故⑤正确．
∴正确命题的个数是5个．
故选D．