Question

重庆市的重大惠民工程--公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m²）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：

z（元/m^2）	50	52	54	56	58	…
x（年）	1	2	3	4	5	…

（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据：，，）

Answer

（1）根据表格中的数据可得z与x是一次函数关系，然后设z=kx+b，运用待定系数法解答即可．
（2）根据题意将x的值分段表示，①1≤x≤6，②7≤x≤10，然后将每段的二次函数的最值求出来即可得出答案．
（3）先求出第六年及第十年的公租房面积，然后可求出人均住房面积，继而根据人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%可得出方程，利用判别式的知识可求出满足题意的a值．
【解析】
（1）由题意，z与x是一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）
把（1，50），（2，52）代入，得
∴，
∴z=2x+48．

（2）当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则
W1=（）•（2x+48）
=
∵对称轴
∴当x=3时，W1最大=243（百万元）
当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则
W2=（）•（2x+48）
=
∵对称轴
∴当x=7时，W2最大=（百万元）
∵243＞
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．

（3）当x=6时，y=百万平方米=400万平方米
当x=10时，y=百万平方米=350万平方米
∵第6年可解决20万人住房问题，
∴人均住房为：400÷20=20平方米．
由题意：20×（1-1.35a%）×20×（1+a%）=350，
设a%=m，化简为：54m2+14m-5=0，
△=142-4×54×（-5）=1276，
∴
∵，
∴m1=0.2，（不符题意，舍去），
∴a%=0.2，
∴a=20
答：a的值为20．