Question

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．
（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；
（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．

Answer

（1）本题根据图形，知道点Q为线段BC边中点，有知道点B的坐标，所以可以求出P、M的坐标．
（2）本题需先根据（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当0≤t≤5时，可以求出S的值，第二种情况当5≤t≤8时，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，可以证出RI=FI，有根据FI=2PI可以证出FP=PI，PI=2PF，PF=t-5，RI=2（t-5）
最后解出结果．
（3）本题需先根据（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，则PH1=MH1，PH2=MH2，所以点H1，H2即为所求点，分别求出H1、H2的坐标；第二种情况当PM=PH3时的情况，分别求出PM、MH3、OH3的值，最后求出H3的坐标．第三种情况当PM=MH4时，分别求出PM、MH4 BH4的值，即可求出H4 的坐标．
（4）本题需先根据所给的条件证出△CPQ∽△BQN，再设CQ=m，根据三角形的性质即可求出△BQN的周长．
【解析】
（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），
∴P（0，5），M（8，1）；

（2）①当0≤t≤5时，S=
     ②当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴，

∵EO=FO，∴RI=FI，
又∵，
∴RI=2PI，
∴FI=2PI，
∴FP=PI，RI=2PF，
∴PF=t-5，RI=2（t-5），
∴S=S△OEF-S△PRF，
=，
=；

（3）①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，

则PH1=MH1，PH2=MH2，
∴点H1，H2即为所求点，
设OH1=x，∵PH1=MH1，
∴x2+52=（8-x）2+12，
∴H1（），
同理，设CH2=y，∵PH2=MH2，
∴32+y2=（8-y）2+72，
∴H2（），
②当PM=PH3时，
∵，
∴，
∴，
∴，
③当PM=MH4时，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上，一共存在四个点，H1（），H2（），，；

（4）∵∠PQN=90°，
∴∠CQP+∠BQN=90°，
又∵∠CQP+∠CPQ=90°，
∴∠CPQ=∠BQN，
又∵∠C=∠B=90°，
∴△CPQ∽△BQN，
设CQ=m，则在Rt△CPQ中，
∵m2+CP2=（8-CP）2，
∴，
∴，
又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，
∴△BQN的周长=，
=16．
∴△BQN的周长不发生变化，其值为16．