Question

已知△ABC内接⊙O．
（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角；
（2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD
（3）画出符合（1）（2）题意的两种图形，使图形中的CD=2cm．

Answer

（1）要保证∠ACB是直角，根据直径所对的圆周角是直角，则AB应是直径，即点O在AB上；
（2）若要这三个三角形相似，则需要∠ABC=∠ACD，则可以得到CD应垂直于AB；
（3）根据射影定理，则CD=2，得AD•BD=4，所以可以让AD=3，BD=1．
【解析】
（1）若要使∠ACB=90°，
则根据90°的圆周角所对的弦是直径，
可得AB应是直径，
即点O应在AB上；

（2）若要△ABC∽△CBD∽△ACD，
则∠ABC=∠ACD．
又∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B+∠BCD=90°．
则CD⊥AB．

（3）根据上述结论，可以让AD=3，BD=1或AD=1，BD=3（如图1和2）．