Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作圆O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．
（1）DE与⊙O什么位置关系？并说明理由．
（2）连接OE、AE，当△ABC满足什么条件时，四边形AOED是平行四边形？在此条件下，sin∠CAE的值是多少？

Answer

（1）可求得∠EDO=90°，即可得到DE是⊙O的切线；
（2）根据平行的性质可得知：∠CAB=45°所以，sin∠CAE=．
【解析】
（1）DE与⊙O相切，理由如下：
连接BD，DO（如图1）；
∵AB为⊙O直径．
∴∠ADB=90°．
∴△CDB为直角三角形．
∵E为BC中点；
∴DE=BC，BE=CE=BC，
∴DE=BE．
∴∠EDB=∠EBD．（3分）
∵DO=OB；
∴∠ODB=∠OBD．
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°．
即∠EDO=90°．
∴DE与⊙O相切于点D．（3分）

（2）当∠CAB=45°时，四边形AOED是平行四边形．
理由如下：
∵∠ADB=90°，∠CAB=45°；
∴∠DBA=∠CAB=45°．
∵AO=BO；
∴DO⊥AB．
∵DE切⊙O于D；
∴DE⊥DO．
∴DE∥AO．（5分）
可证△DOE≌△BOE，从而∠1=∠2=45°．
∴∠CAO=∠EOB．
∴OE∥AD．
∴四边形AOED为平行四边形．（6分）
作EF⊥AC于F（如图2），设EF=k，可得BE=CE=k，AB=k，
从而得AE=k．
∴sin∠CAE=．（8分）