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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的⊙O交△AB...

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,以DC为直径的⊙O交△ABC的边于G,F,E点.
求证:(1)F是BC的中点;
(2)∠A=∠GEF.

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(1)因为在直角△ABC中,D是AB的中点,所以BD=DC,由因为CD是⊙O的直径,所以DF⊥BC;根据等腰三角形的性质可证,F是BC的中点; (2)根据中位线定理,可证∠A=∠BDF;再由圆周角定理得∠BDF=∠GEF,所以∠A=∠GEF,即证. 证明一: (1)连接DF,∵∠ACB=90°,D是AB的中点, ∴BD=DC=AB,(2分) ∵DC是⊙O的直径, ∴DF⊥BC,(4分) ∴BF=FC,即F是BC的中点;(5分) (2)∵D,F分别是AB,BC的中点, ∴DF∥AC,(6分) ∴∠A=∠BDF,(7分) ∵∠BDF=∠GEF(圆周角定理),(8分) ∴∠A=∠GEF.(9分) 证明二: (1)连接DF,DE, ∵DC是⊙O直径, ∴∠DEC=∠DFC=90°.(1分) ∵∠ECF=90°, ∴四边形DECF是矩形. ∴EF=CD,DF=EC.(2分) ∵D是AB的中点,∠ACB=90°, ∴EF=CD=BD=AB.(3分) ∴△DBF≌△EFC.(4分) ∴BF=FC,即F是BC的中点.(5分) (2)∵△DBF≌△EFC, ∴∠BDF=∠FEC,∠B=∠EFC.(6分) ∵∠ACB=90°(也可证AB∥EF,得∠A=∠FEC), ∴∠A=∠FEC.(7分) ∵∠FEG=∠BDF(同弧所对的圆周角相等 ),(8分) ∴∠A=∠GEF.(9分) (此题证法较多,大纲卷参考答案中,又给出了两种不同的证法,可供参考.)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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