Question

如图①，顶点为A的抛物线E：y=ax²-2ax（a＞0）与坐标轴交于O、B两点．抛物线F与抛物线E关于x轴对称．
（1）求抛物线F的解析式及顶点C的坐标（可用含a的式子表示）；
（2）如图②，直线l：y=ax（a＞0）经过原点且与抛物线E交于点Q，判断抛物线F的顶点C是否在直线l上；

（3）直线OQ绕点O旋转，在x轴上方与直线BC交于点M，与直线AC交于点N．在旋转过程中，请利用图③，图④探究∠OMC与∠ABN满足怎样的关系，并验证．

Answer

（1）利用配方法把y=ax2-2ax（a＞0）从一般式转化为顶点式，直接利用顶点式的特点求解．
（2）把点C的横坐标代入直线l，得到的纵坐标是否与点C相同即可．
（3）连接OC，BN，在△OCM和在△BNA中由三角形内角和求得∠OMC与∠ABN相等．
【解析】
（1）由题意：y=ax2-2ax=a（x-1）2-a，
顶点坐标A（1，-a），
点C关于x轴与点A对称则C（1，a），
∴抛物线F的解析式：y=-a（x-1）2+a；

（2）依题意，把点C（1，a）的横坐标代入直线l：y=ax（a＞0）得：
其纵坐标y=a
所以直线l：y=ax（a＞0）经过点C．

（3）由题意可得OC=BC=AB，
∴∠BAC=∠BCA=∠OCA，
∵点N为对称轴上的点，
∴∠BNC=∠CNO，
在△OCM中，则∠OMC+∠OCM+∠COM=180°，
在△BNA中，则∠NBA+∠BNA+∠BAN=180°，
由以上证得：∠BAC=∠BCA=∠OCA，∠BNC=∠CNO，
又由对顶角相等，即∠ONC=∠MNA，
∴∠OMC=∠ABN．