Question

如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，BA=BC，点M是AB上一点．
操作：作MN⊥AC，垂足为N，连接MC，取MC的中点P，连接BP、NP．
探究：
（1）请猜想与线段BP相关的三个结论．
（2）把△AMN绕点A顺时针旋转任意角度α，请利用图2，图3，选择△AMN不同位置进行操作．
（3）经历（2）以后，在旋转过程中选取你认为始终成立的两个结论，用图②或图③加以说明．

Answer

（1）由题意可猜想，PB=NP，BP=MP=PC，BP⊥NP；
（2）图2：把△AMN绕点A顺时针旋转45°；图3：把△AMN绕点A顺时针旋转90°；
（3）如图2，把△NMP绕N点逆时针旋转90°得△NAD，连接BD，根据旋转的性质，全等三角形的判定，只要证明四边形DNPB是正方形，即可证得结论；图3，同理，只要证明四边形DNPB是正方形；
【解析】
（1）根据题意猜想：PB=NP，BP=MP=PC，BP⊥NP；

（2）如图2、3；

（3）在旋转过程中始终成立的两个结论是：PB=NP，BP⊥NP；
证明：如图2，把△NMP绕N点逆时针旋转90°得△NAD，连接BD，
∴△NMP≌△NAD，
∴ND=NP，ND⊥NP，AD=MP=PC，
∵△AMN和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠NMP=∠NAD=135°，
∴∠DAB=135°-90°=45°，
∴△ADB≌△CPB（SAS），
∴∠ABD=∠CBP，
∴∠DBP=90°，
∴四边形DNPB是正方形，
∴BP=NP，BP⊥NP；

如图3，把△BPC绕B点顺时针旋转90°得△BDA，连接BD，延长NA交BD于点E、延长NM到F，
∴△BPC≌△PDA，
∴∠DAE=∠AEM，又MN∥AC，
∴∠DAE=∠CMF，
∴∠NAD=∠NMP，
∴△NAD≌△NMP，
同理，可证四边形DNPB是正方形，
∴BP=NP，BP⊥NP．