Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿CB方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，以点P、Q、R为顶点的三角形与△BOC相似？

Answer

（1）四边形ABCE是菱形．证明：∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，∴EC∥AB，EC=AB．∴四边形ABCE是平行四边形．又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形．
（2）①由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，可得S△PBO=S△QEO，由△ECD是由△ABC平移得到的，可得ED∥AC，ED=AC=6．又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，可得S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24．
②如图，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3．∴∠2不与∠3对应．∴∠2与∠1对应．即∠2=∠1，∴OP=OC=3．过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点．可证△OGC∽△BOC．可得CG：CO=CO：BC．从而可求解．
【解析】
（1）四边形ABCE是菱形．
证明：∵△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，
∴EC∥AB，EC=AB．
∴四边形ABCE是平行四边形．
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形．

（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴S△PBO=S△QEO
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6．
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24．
②如图，当点P在BC上运动，使以点P、Q、R为顶点的三角形与△COB相似．
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3．
∴∠2不与∠3对应．
∴∠2与∠1对应．
即∠2=∠1，
∴OP=OC=3．
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点．可证△OGC∽△BOC．
∴CG：CO=CO：BC．
即CG：3=3：5．
∴CG=．
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×=．