Question

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标．

Answer

（1）利用待定系数法代入求出二次函数解析式即可；
（2）利用配方法求出二次函数顶点坐标，再利用GH是△BEA的中位线．得出EA=3GH=．进而得出CF=FM+CM得出答案；
（3）根据要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，求出直线BC1的解析式，以及P、Q两点的坐标．
【解析】
（1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）．
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．
则，
解得，
∴．

（2）由=．
∴顶点坐标为G（1，）．
过G作GH⊥AB，垂足为H．
则AH=BH=1，GH=-2=．
∵EA⊥AB，GH⊥AB，
∴EA∥GH．
∴GH是△BEA的中位线．
∴EA=2GH=．
过B作BM⊥OC，垂足为M．则MB=OA=AB．
∵∠EBF=∠ABM=90°，
∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF．
∴Rt△EBA≌Rt△FBM．
∴FM=EA=．
∵CM=OC-OM=3-2=1，
∴CF=FM+CM=．

（3）要使四边形BCPQ的周长最小，
将B向下平移一个单位至K，取C关于对称轴对称点M．
连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，
可使KP+PM最短．则QPKB为平行四边形，
QB=PK，
连接CP，轴对称求出CP=MP，
则CP+BQ最小，
因为CB，QP定值，则四边形BCPQ周长最短，
∵将点C向上平移一个单位，坐标为（3，1），再做关于对称轴对称的对称点C1，
∴得点C1的坐标为（-1，1）．
可求出直线BC1的解析式为．
直线与对称轴x=1的交点即为点Q，坐标为Q（1，）．
∴点P的坐标为（1，）．