Question

已知二次函数y=ax²+bx+c．
（1）若a=2，c=-3，且二次函数的图象经过点（-1，-2），求b的值；
（2）若a=2，b+c=-2，b＞c，且二次函数的图象经过点（p，-2），求证：b≥0；
（3）若a+b+c=0，a＞b＞c，且二次函数的图象经过点（q，-a），试问当自变量x=q+4时，二次函数y=ax²+bx+c所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论．

Answer

①本题待定系数法求二次函数解析式，条件由具体到抽象，要根据题目的条件逐步求解；
②（2）（3）还需结合一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识解题．
【解析】
（1）当a=2，c=-3时，二次函数为y=2x2+bx-3，
因为该函数的图象经过点（-1，-2），
所以-2=2×（-1）2+b×（-1）-3，解得b=1；

（2）当a=2，b+c=-2时，二次函数为y=2x2+bx-b-2，
因为该函数的图象经过点（p，-2），
所以-2=2p2+bp-b-2，即2p2+bp-b=0，
于是，p为方程2x2+bx-b=0的根，
所以△=b2+8b=b（b+8）≥0．
又因为b+c=-2，b＞c，
所以b＞-b-2，即b＞-1，有b+8＞0，所以b≥0；

（3）因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（q，-a），
所以aq2+bq+c+a=0．所以q为方程aq2+bq+c+a=0的根，
于是，△=b2-4a（a+c）≥0，
又a+b+c=0，所以△=b（3a-c）≥0，
又a＞b＞c，知a＞0，c＜0，所以3a-c＞0，所以b≥0，
所以q为方程aq2+bq+c+a=0的根，所以q=或q=．
当x=q+4时，y=a（q+4）2+b（q+4）+c=（aq2+bq+c+a）+8aq+15a+4b=8aq+15a+4b，
若，则y=8a•+15a+4b=15a-4．
因为a＞b≥0，所以b2+4ab＜a2+4a•a=5a2，
即＜a，-4＞-4a，
∴y＞15a-4a=（15-4）a＞0；
若，则y=8a•+15a+4b=15a+4．
所以当x=q+4时，二次函数y=ax2+bx+c所对应的函数值大于0．