Question

如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是______；
②请证明你的上述猜想．
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可．
（2）连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案．
【解析】
（1）①DE=EF；
②证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB=AN=AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF；

（2）DE=EF，
证明：连接NE，在DA边上截取DN=EB，
∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF．