Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？

Answer

（1）因为抛物线经过A、B、C三点，所以用待定系数法设出二次函数的一般式即可求出其解析式．
（2）根据（1）中所得二次函数的解析式可求出其对称轴直线，由二次函数图象上点的坐标特点可知A、B两点关于对称轴直线对称，连接BC，根据三点共线时距离最短可知BC与对称轴的交点即为Q点．
根据B、C两点的坐标可用待定系数法求出B、C两点所在直线的解析式，在与对称轴直线组成方程组，即可求出Q点的坐标．
利用两点间的距离公式即可求出BC的长即△QAC的周长的最小值．
（3）设t秒后△PAC是等腰三角形．利用t表示出P点坐标，根据两点间距离公式，分①PA=CA；②PC=PA；③CP=CA三种情况解答．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得，
解得，
故抛物线的解析式为，y=x2-4x+3；

（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x=2于点Q，
可得直线BC：
y=-x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC=，
可得△QAC周长为+3．

（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t-1）于是
①当PA=CA时；根据勾股定理得：（2-1）2+（t-1）2=12+32；
解得t=4秒或t=-2秒（负值舍去）．
②PC=PA时；根据勾股定理得：22+（t-4）2=（2-1）2+（t-1）2；
解得t=3秒；
③CP=CA时；根据勾股定理得：22+（t-4）2=12+32；
解得t=（4+）秒或t=（4-）秒
所以经过4秒，或3秒，或4+秒，或4-秒时，△PAC是等腰三角形．