Question

已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G（如图②），问（1）中的结论是否仍然成立．证明你的结论；
（3）将图①中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接DF，取DF的中点G（如图③），问（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论．

Answer

（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；
（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG⊥CG．
（3）首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG⊥CG．
【解析】
（1）EG=CG且EG⊥CG．
证明如下：如图①，连接BD．
∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，
∴∠EBF=∠DBC=45°．
∴B、E、D三点共线．
∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，
∴EG=DG=GF=CG．
∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．
∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG．

（2）仍然成立，
证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．
∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．
又∵∠3=∠4，FG=DG，
∴△FEG≌△DHG，
∴EF=DH，EG=GH．
∵△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=EF，∴BE=DH．
∵CD=BC，∴CE=CH．
∴△ECH为等腰直角三角形．
又∵EG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．

（3）仍然成立．
证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．
∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，
∴△HFG≌△CDG，
∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，
∴HF∥CD．
∵正方形ABCD，
∴HF=BC，HF⊥BC．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，
∴△BEC≌△FEH，
∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，
∴∠BEF=∠HEC=90°，
∴△ECH为等腰直角三角形．
又∵CG=GH，
∴EG=CG且EG⊥CG．